微分方程的通解公式
微分方程的通解公式依赖于方程的类型和阶数。下面是一些常见的微分方程通解公式的例子：
### 一阶线性微分方程
对于一阶线性微分方程 \\（ \\frac{dy}{dx} + P（x）y = Q（x） \\），其通解公式为：
\\[ y = e^{-\\int P（x）dx} \\left（ \\int Q（x）e^{\\int P（x）dx} dx + C \\right） \\]
其中 \\（ C \\） 是任意常数。
### 二阶常系数齐次线性微分方程
对于二阶常系数齐次线性微分方程 \\（ y\'\' + py\' + qy = 0 \\），其通解公式依赖于特征方程 \\（ r^2 + pr + q = 0 \\） 的根 \\（ r_1, r_2 \\）：
- 如果 \\（ r_1
eq r_2 \\），则通解为 \\（ y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \\）。
- 如果 \\（ r_1 = r_2 \\），则通解为 \\（ y = （C_1 + C_2x）e^{r_1x} \\）。
- 如果 \\（ r_1 \\） 和 \\（ r_2 \\） 是一对共轭复根 \\（ r_1 = \\alpha + i\\beta, r_2 = \\alpha - i\\beta \\），则通解为 \\（ y = e^{\\alpha x}（C_1 \\cos \\beta x + C_2 \\sin \\beta x） \\）。
### 非齐次线性微分方程
对于非齐次线性微分方程 \\（ y\'\' + py\' + qy = f（x） \\），其通解由对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成：
\\[ y = y_h + y_p \\]
其中 \\（ y_h \\） 是齐次方程的通解，\\（ y_p \\） 是非齐次方程的一个特解。
### 特殊类型的微分方程
- 对于全微分方程 \\（ udx + vdy = 0 \\），如果 \\（ \\frac{du}{dy} = \\frac{dv}{dx} \\），则其通解为 \\（ \\int udx + \\int vdy = C \\），其中 \\（ C \\） 是积分常数。
以上是微分方程通解的一些基本形式。对于更复杂的微分方程，可能需要使用更高级的数学工具，如拉普拉斯变换或特征方程方法。
